Trois intégrales de fonctions usuelles

Le principe. ${\int }_a^{b}f=F(b)-F(a)$, où $F$ est une primitive quelconque de $f$ : la constante disparaît dans la soustraction.

La première. Une primitive de $3x^2-2$ est $x^3-2x$, donc $${\int }_0^2(3x^2-2)\mathrm{d}x=[x^3-2x{]}_0^2=(8-4)-0=4.$$

La deuxième. Une primitive de ${\mathrm{e}}^{-x}$ est $-{\mathrm{e}}^{-x}$, donc $${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=[-{\mathrm{e}}^{-x}{]}_0^1=-{\mathrm{e}}^{-1}+1=1-\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,632.$$

La troisième. Une primitive de $\frac{2}{x}$ sur $\left]0,+\infty \right[$ est $2\ln x$, donc $${\int }_1^4\frac{2}{x}\mathrm{d}x=[2\ln x{]}_1^4=2\ln 4-2\ln 1=2\ln 4=4\ln 2\approx 2,773.$$

Contrôle de plausibilité. Les trois fonctions sont positives sur leurs intervalles, donc les trois résultats doivent l'être : c'est le cas. Et pour la deuxième, ${\mathrm{e}}^{-x}$ reste entre ${\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,37$ et $1$ sur $[0;1]$, donc l'intégrale est entre $0,37$ et $1$ : la valeur $0,632$ y est bien.