Un coût marginal en deux morceaux

Le coût total est l'intégrale du coût marginal. La fonction $C_m$ n'a pas la même expression partout : elle vaut $8$ sur $[0,40]$ et $12$ sur $[40,60]$. On coupe donc en $40$ par la relation de Chasles :

$${\int }_0^{60}{C}_m(q)\mathrm{d}q={\int }_0^{40}8\mathrm{d}q+{\int }_{40}^{60}12\mathrm{d}q=8\times 40+12\times 20.$$

Soit $320+240=560$ euros.

La valeur moyenne. Par définition, c'est l'intégrale divisée par la longueur de l'intervalle :

$$\frac{1}{60-0}{\int }_0^{60}{C}_m(q)\mathrm{d}q=\frac{560}{60}=\frac{28}{3}\approx 9,33\text{ euros par uniteˊ}.$$

Pourquoi pas $10$ ? Le nombre $10$ est la moyenne des deux valeurs $8$ et $12$, ce qui reviendrait à leur accorder le même poids. Or $8$ règne sur $40$ unités et $12$ sur $20$ seulement : la moyenne est pondérée par les longueurs,

$$\frac{40\times 8+20\times 12}{60}=\frac{560}{60}\approx 9,33,$$

et elle penche du côté de la valeur qui dure le plus longtemps.

Contrôle géométrique. L'aire sous la courbe est celle de deux rectangles, $40\times 8$ et $20\times 12$ ; la valeur moyenne est la hauteur du rectangle de base $60$ qui aurait la même aire. $60\times 9,33=560$.

Le point à retenir. Chasles est l'outil qui permet d'intégrer une fonction définie par morceaux. Et la valeur moyenne d'une fonction est une moyenne pondérée par la longueur de chaque morceau, jamais par leur nombre.