Un délai de livraison uniforme

La densité. Pour la loi uniforme sur $[a;b]$, la densité vaut $\frac{1}{b-a}$ sur le segment et $0$ ailleurs. Ici $b-a=20-5=15$, donc $$f(t)=\frac{1}{15}\text{ pour }t\in [5;20],f(t)=0\text{ sinon}.$$

Contrôle de la densité. Son intégrale totale doit valoir $1$ : ${\int }_5^{20}\frac{1}{15}\mathrm{d}t=[\frac{t}{15}{]}_5^{20}=\frac{20-5}{15}=1$.

La première probabilité. Le délai ne peut pas être inférieur à $5$, donc $(X\le 8)$ signifie $(5\le X\le 8)$ : $$P(X\le 8)={\int }_5^8\frac{1}{15}\mathrm{d}t=\frac{8-5}{15}=\frac{3}{15}=0,2.$$

La seconde. $$P(10\le X\le 15)=\frac{15-10}{15}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\approx 0,333.$$

La probabilité d'une valeur isolée. L'événement $(X=12)$ correspond à un intervalle réduit à un point, dont les deux bornes sont égales : $$P(X=12)={\int }_{12}^{12}f(t)\mathrm{d}t=0.$$

Ce que cela signifie. Pour une variable à densité, toute valeur isolée a une probabilité nulle, sans être impossible pour autant : la probabilité est une aire, et un segment réduit à un point n'a pas d'aire. C'est la différence de fond avec les variables finies des chapitres précédents, où $P(X=k)$ était en général non nul.