Un stock qui se vide

Ce qui est sorti au bout de $t$ jours. C'est l'accumulation du rythme de sortie : $${\int }_0^{t}d(u)\mathrm{d}u=[20u+\frac{3u^2}{2}{]}_0^t=20t+1,5t^2.$$ On a écrit la variable d'intégration $u$, et non $t$ : la même lettre ne peut pas désigner à la fois une borne et la variable qui parcourt l'intervalle.

Le stock restant. $$S(t)=500-20t-1,5t^2.$$ Contrôle : $S(0)=500$, et $S^{\prime }(t)=-20-3t=-d(t)$ — le stock décroît exactement au rythme des sorties, ce qui est bien la situation décrite.

L'entrepôt est vide. On résout $S(t)=0$, soit $$1,5t^2+20t-500=0.$$ Le discriminant vaut $\Delta =400+4\times 1,5\times 500=3400$, et $\sqrt{3400}\approx 58,31$. Les racines sont $$t=\frac{-20-58,31}{3}\approx -26,1\text{et}t=\frac{-20+58,31}{3}\approx 12,77.$$

La solution retenue. Le temps est positif : seule $t\approx 12,77$ jours convient. L'entrepôt est donc vide au cours du treizième jour.

Contrôle. $S(12)=500-240-216=44$ palettes restantes, et $S(13)=500-260-253,5=-13,5$ : le passage à zéro a bien lieu entre le douzième et le treizième jour. Le modèle cesse évidemment d'avoir un sens au-delà.