Une aire sous une droite, vérifiée à la règle

Le calcul par une primitive. Une primitive de $f$ est $F(x)=3x-0,25x^2$, qu'on contrôle en dérivant : $F^{\prime }(x)=3-0,5x$. Donc $${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x=F(4)-F(0)=(12-4)-0=8.$$

La vérification géométrique. $f$ étant positive sur $[0;4]$, cette intégrale est l'aire de la région comprise entre la courbe, l'axe et les droites $x=0$ et $x=4$. Comme $f$ est affine, cette région est un trapèze de hauteur (horizontale) $4$, dont les deux côtés verticaux mesurent $$f(0)=3\text{et}f(4)=3-2=1.$$

L'aire du trapèze. $$\mathcal{A}=\frac{(f(0)+f(4))\times 4}{2}=\frac{(3+1)\times 4}{2}=8.$$

Conclusion. Les deux méthodes donnent $8$ : la définition de l'intégrale par les primitives est bien compatible avec l'aire élémentaire connue depuis le collège.

Une remarque utile. Pour une fonction affine, la valeur moyenne $\frac{8}{4}=2$ est exactement la demi-somme des valeurs aux bornes, $\frac{3+1}{2}=2$. C'est le seul cas où cette égalité est garantie.