Une aire vérifiée par la géométrie

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 12 — Intégration sur un segment · Calculer une intégrale

Énoncé

Soit $f (x) = 0, 5 x + 1$ . Calculer $\int_{0}^{4} f (x) d x$ , puis retrouver ce nombre en calculant l'aire d'un trapèze.

Corrigé

Par une primitive. $\int_{0}^{4} (0, 5 x + 1) d x = [0, 25 x^{2} + x]_{0}^{4} = 4 + 4 = 8$ .

Par la géométrie. La région est un trapèze de hauteur $4$ (mesurée horizontalement) et de bases $f (0) = 1$ et $f (4) = 3$ . Son aire vaut

$\frac{f ( 0 ) + f ( 4 )}{2} \times 4 = \frac{1 + 3}{2} \times 4 = 8.$

Conclusion. Les deux méthodes donnent $8$ . Sur une fonction affine positive, la géométrie est un contrôle immédiat et gratuit du calcul de primitive.

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