Une attente uniforme entre deux bus

La densité. Sur $[a;b]=[0;20]$, la densité de la loi uniforme vaut $\frac{1}{b-a}=\frac{1}{20}=0,05$, et elle est nulle ailleurs.

Contrôle. L'intégrale totale de la densité vaut ${\int }_0^{20}0,05\mathrm{d}t=[0,05t{]}_0^{20}=1$ : c'est bien une densité de probabilité.

Attendre au plus cinq minutes. $$P(X\le 5)={\int }_0^{5}0,05\mathrm{d}t=\frac{5-0}{20}=0,25.$$

Attendre entre huit et douze minutes. $$P(8\le X\le 12)=\frac{12-8}{20}=\frac{4}{20}=0,2.$$

Ce que « uniforme » veut dire. La probabilité ne dépend que de la longueur de l'intervalle, jamais de sa position : attendre entre $0$ et $4$ minutes, entre $8$ et $12$, ou entre $16$ et $20$ ont toutes la même probabilité $0,2$.

Une conséquence contre-intuitive. Un voyageur qui a déjà attendu dix minutes n'est pas « plus près » du bus au sens probabiliste qu'à son arrivée : le modèle uniforme ne garde aucune mémoire du temps écoulé.