Une durée d'attente uniforme

Intégration sur un segment · Applications économiques et probabilistes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le temps d'attente $X$ , en minutes, d'un client au guichet d'une agence suit la loi uniforme sur $[10, 25]$ .

Donner sa densité et calculer $P (X \leq 15)$ puis $P (12 \leq X \leq 20)$ .
Calculer $\int_{10}^{25} \frac{t}{15} d t$ et interpréter le résultat.

Corrigé

1. Densité et probabilités. La densité vaut $\frac{1}{25 - 10} = \frac{1}{15}$ sur $[10, 25]$ , et $0$ ailleurs. Donc

$P (X \leq 15) = \frac{15 - 10}{15} = \frac{1}{3} \approx 0, 333, P (12 \leq X \leq 20) = \frac{20 - 12}{15} = \frac{8}{15} \approx 0, 533.$

2. L'intégrale.

$\int_{10}^{25} \frac{t}{15} d t = [\frac{t ^{2}}{30}]_{10}^{25} = \frac{625 - 100}{30} = \frac{525}{30} = 17, 5.$

Interprétation. $17, 5$ est le temps d'attente moyen, et c'est exactement le milieu $\frac{10 + 25}{2}$ du segment. Une loi uniforme n'a aucune raison de pencher d'un côté : sa moyenne est au centre.

Contrôle. $P (X \leq 17, 5) = \frac{7 , 5}{15} = 0, 5$ : la moitié des clients attendent moins que la moyenne, ce qui confirme la symétrie.

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