Une intégrale qui n'est pas une aire

Une primitive. $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}$, et l'on contrôle : $F^{\prime }(x)=x^2-x$.

L'intégrale. $${\int }_{-1}^{2}f=F(2)-F(-1)=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{3}{2}.$$

Le signe de $f$. $f(x)=x(x-1)$ s'annule en $0$ et en $1$ ; le trinôme est négatif entre ses racines. Donc $f\ge 0$ sur $[-1;0]$, $f\le 0$ sur $[0;1]$, $f\ge 0$ sur $[1;2]$.

Les trois morceaux, par la relation de Chasles. $${\int }_{-1}^{0}f=0-\left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{5}{6},{\int }_0^{1}f=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)-0=-\frac{1}{6},{\int }_1^{2}f=\frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{5}{6}.$$ Leur somme vaut $\frac{5}{6}-\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{3}{2}$ : Chasles est vérifiée.

L'aire géométrique. Une aire est positive : on remplace la contribution négative par sa valeur absolue. $$\mathcal{A}=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{11}{6}\approx 1,833.$$

L'explication de l'écart. L'intégrale compte négativement la portion située sous l'axe : elle vaut $\frac{3}{2}$, tandis que l'aire vaut $\frac{11}{6}$. L'écart est exactement le double du morceau négatif, $2\times \frac{1}{6}$. Les deux nombres ne coïncident que si $f$ garde un signe positif.