Une primitive et l'intégrale qui en découle

Terme à terme, par linéarité.

Une primitive de ${\mathrm{e}}^{ax}$ est $\frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{ax}$. Ici $a=-0,5$, donc une primitive de $4{\mathrm{e}}^{-0,5x}$ est $4\times \frac{1}{-0,5}{\mathrm{e}}^{-0,5x}=-8{\mathrm{e}}^{-0,5x}$.

Une primitive de $\frac{3}{x}$ sur $\left]0,+\infty \right[$ est $3\ln x$.

Une primitive de $-2x$ est $-x^2$.

$$F(x)=-8{\mathrm{e}}^{-0,5x}+3\ln x-x^2.$$

Le contrôle par dérivation.

$$F^{\prime }(x)=-8\times (-0,5){\mathrm{e}}^{-0,5x}+\frac{3}{x}-2x=4{\mathrm{e}}^{-0,5x}+\frac{3}{x}-2x=f(x).$$

L'intégrale.

$${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(1)=(-8{\mathrm{e}}^{-1}+3\ln 2-4)-(-8{\mathrm{e}}^{-0,5}+0-1),$$

car $\ln 1=0$. En regroupant :

$${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=8{\mathrm{e}}^{-0,5}-8{\mathrm{e}}^{-1}+3\ln 2-3.$$

Numériquement : $4,8523-2,9430+2,0794-3\approx 0,989$.

Le point à retenir. La seule difficulté d'un ${\mathrm{e}}^{ax}$ est le facteur $\frac{1}{a}$, qu'on oublie ou qu'on met à l'envers. Le contrôle par dérivation coûte cinq secondes et ne peut pas mentir : si $F^{\prime }=f$, la primitive est juste, quelle que soit la manière dont on l'a trouvée.