Une primitive qu'il faut d'abord rendre visible

Pourquoi transformer d'abord. Aucune ligne du tableau ne donne la primitive d'un quotient de cette forme, et les changements de variable sont hors programme. La seule voie est donc de réécrire $f$ comme une somme de fonctions dont on connaît les primitives.

La réécriture. Pour $x>0$ : $$f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x}=\frac{x^2}{x}+\frac{2x}{x}+\frac{1}{x}=x+2+\frac{1}{x}.$$

La primitive, terme à terme. Une primitive de $x$ est $\frac{x^2}{2}$, une primitive de $2$ est $2x$, et une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $\left]0,+\infty \right[$ est $\ln x$. Par linéarité, $$F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\ln x.$$

Contrôle en dérivant. $F^{\prime }(x)=x+2+\frac{1}{x}$, qui est bien la forme développée de $f$.

L'intégrale. $${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(1)=\left(2+4+\ln 2\right)-\left(\frac{1}{2}+2+\ln 1\right).$$ Comme $\ln 1=0$, cela vaut $$6+\ln 2-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}+\ln 2\approx 4,193.$$

Contrôle de plausibilité. Sur $[1;2]$, $f$ est croissante et vérifie $f(1)=4$ et $f(2)=4,5$. L'aire sous la courbe est donc comprise entre $4\times 1=4$ et $4,5\times 1=4,5$ : la valeur $4,193$ tombe bien dans cet encadrement.