Vérifier une primitive

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 12 — Intégration sur un segment · Primitives

Énoncé

Montrer que $F (x) = x ln x - x$ est une primitive de $f (x) = ln x$ sur $] 0, + \infty [$ . En déduire $\int_{1}^{e} ln t d t$ .

Corrigé

On dérive. $F$ est un produit moins une identité :

$F^{'} (x) = 1 \times ln x + x \times \frac{1}{x} - 1 = ln x + 1 - 1 = ln x .$

Donc $F^{'} = f$ : $F$ est bien une primitive de $ln$ sur $] 0, + \infty [$ .

L'intégrale. $\int_{1}^{e} ln t d t = [t ln t - t]_{1}^{e} = (e \times 1 - e) - (0 - 1) = 1$ .

Ce qu'il faut retenir. On n'a pas cherché la primitive : on l'a vérifiée. C'est exactement ce que demande le programme, qui ne réclame aucune technique d'intégration.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.