Calculs de puissances

On applique les règles du cours, une par calcul.

$2^5\times 2^{-3}$. Un produit de puissances d'un même nombre s'obtient en ajoutant les exposants : $x^n{x}^m=x^{n+m}$. Donc $$2^5\times 2^{-3}=2^{5-3}=2^2=4.$$

$\frac{3^7}{3^4}$. Un quotient de puissances d'un même nombre s'obtient en retranchant les exposants : $\frac{x^n}{x^m}=x^{n-m}$. Donc $$\frac{3^7}{3^4}=3^{7-4}=3^3=27.$$

$(5^2{)}^3$. Une puissance de puissance multiplie les exposants : $(x^n{)}^m=x^{nm}$. Donc $$(5^2{)}^3=5^{2\times 3}=5^6=15625.$$ Attention à ne pas confondre avec $5^2\times 5^3=5^5$.

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}$. Un exposant négatif signifie l'inverse : $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$. Donc $${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{1}{\frac{4}{9}}=\frac{9}{4}=2,25.$$ Autrement dit, élever une fraction à une puissance négative revient à retourner la fraction puis à élever à la puissance positive.