Coût moyen et inéquation

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 — Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue · Quotients et valeur absolue

Énoncé

Une entreprise a un coût total $C (q) = 5 q + 800$ euros pour $q$ articles produits ( $q > 0$ ), et son coût moyen est $C_{m} (q) = \frac{C ( q )}{q}$ . 1. Écrire $C_{m} (q)$ sous la forme $α + \frac{β}{q}$ . 2. À partir de quelle quantité a-t-on $C_{m} (q) \leq 25$ euros ? 3. Le coût moyen peut-il descendre à $4$ euros ?

Corrigé

1. $C_{m} (q) = \frac{5 q + 800}{q} = 5 + \frac{800}{q}$ .

2. Comme $q > 0$ , on multiplie l'inéquation par $q$ sans changer son sens :

$5 + \frac{800}{q} \leq 25 ⟺ \frac{800}{q} \leq 20 ⟺ 800 \leq 20 q ⟺ q \geq 40.$

Il faut donc produire au moins $40$ articles. Contrôle : $C_{m} (40) = \frac{200 + 800}{40} = 25$ exactement, et $C_{m} (50) = \frac{250 + 800}{50} = 21$ .

3. Non. Pour tout $q > 0$ , $\frac{800}{q} > 0$ , donc $C_{m} (q) > 5$ : les $800$ euros de charges fixes se diluent quand $q$ grandit, mais les $5$ euros par article, eux, ne se diluent pas.

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