Deux coefficients et deux racines imposées

1. Les deux coefficients. Dire que $1$ et $-2$ sont racines, c'est écrire deux équations : $$P(1)=1+a+b-6=0\text{donne}a+b=5,$$ $$P(-2)=-8+4a-2b-6=0\text{donne}4a-2b=14,\text{ soit }2a-b=7.$$ On résout ce système de deux équations à deux inconnues par combinaison : en additionnant $a+b=5$ et $2a-b=7$, l'inconnue $b$ disparaît et il reste $3a=12$, donc $a=4$, puis $b=5-4=1$.

Contrôle dans les deux équations de départ, comme le veut la méthode : $4+1=5$ et $2\times 4-1=7$. Donc $$P(x)=x^3+4x^2+x-6.$$

2. La factorisation. $1$ et $-2$ étant racines, $P$ est divisible par $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$. Le quotient est de degré $1$ et son coefficient dominant est $1$ ; en comparant les termes constants, $-2\times k=-6$ donne $k=3$, donc le quotient est $x+3$ : $$P(x)=(x-1)(x+2)(x+3).$$ Contrôle par développement : $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$, puis $(x^2+x-2)(x+3)=x^3+3x^2+x^2+3x-2x-6=x^3+4x^2+x-6$.

3. L'inéquation. Les racines rangées dans l'ordre sont $-3<-2<1$. Le coefficient dominant vaut $1>0$, donc $P$ est positif après la plus grande racine, et le signe alterne à chaque racine simple : $$P(x)\ge 0⟺x\in [-3;-2]\cup [1;+\infty [.$$ Les inégalités sont larges, donc les racines sont prises. Contrôle : $P(0)=-6<0$ et $0\notin S$ ; $P(2)=8+16+2-6=20>0$ et $2\in S$.