Deux pièces dans la tolérance

1. L'écart entre la longueur $L$ et la valeur visée $120$ est la distance $|L-120|$. L'exigence s'écrit donc $$|L-120|\le 0,4⟺-0,4\le L-120\le 0,4⟺L\in [119,6;120,4].$$

2. On commence par factoriser, ce qui évite toute discussion de signe : $$|3x-360|=|3(x-120)|=3|x-120|.$$ L'inéquation devient $3|x-120|>1,2$, soit $|x-120|>0,4$, c'est-à-dire $$x<119,6\text{ou}x>120,4.$$ Ce sont exactement les longueurs rejetées par le contrôle : le complémentaire de l'intervalle de la question 1.

3. Soit $x$ et $y$ deux longueurs conformes : $|x-120|\le 0,4$ et $|y-120|\le 0,4$. L'astuce est de faire apparaître le centre $120$ en l'ajoutant puis en le retranchant : $$x-y=(x-120)-(y-120).$$ L'inégalité triangulaire donne alors $$|x-y|\le |x-120|+|-(y-120)|=|x-120|+|y-120|\le 0,4+0,4=0,8.$$

Le point à retenir. Une valeur absolue cache toujours un centre et un rayon. Et pour majorer un écart entre deux quantités, on passe par leur référence commune : c'est l'usage courant de l'inégalité triangulaire dans les questions de tolérance.