Deux pièces dans la tolérance

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 — Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue · Quotients et valeur absolue

Énoncé

Une pièce est conforme si sa longueur, en millimètres, s'écarte de $120$ de $0, 4$ au plus.

1. Traduire cette exigence par une inégalité avec une valeur absolue, puis donner l'intervalle des longueurs acceptées.

2. Résoudre $∣3 x - 360∣ > 1, 2$ et interpréter le résultat.

3. Deux pièces conformes ont pour longueurs $x$ et $y$ . Démontrer que $∣ x - y ∣ \leq 0, 8$ .

Corrigé

1. L'écart entre la longueur $L$ et la valeur visée $120$ est la distance $∣ L - 120∣$ . L'exigence s'écrit donc $∣ L - 120∣ \leq 0, 4 ⟺ - 0, 4 \leq L - 120 \leq 0, 4 ⟺ L \in [119, 6; 120, 4] .$

2. On commence par factoriser, ce qui évite toute discussion de signe : $∣3 x - 360∣ = ∣3 (x - 120) ∣ = 3 ∣ x - 120∣.$ L'inéquation devient $3∣ x - 120∣ > 1, 2$ , soit $∣ x - 120∣ > 0, 4$ , c'est-à-dire $x < 119, 6 ou x > 120, 4.$ Ce sont exactement les longueurs rejetées par le contrôle : le complémentaire de l'intervalle de la question 1.

3. Soit $x$ et $y$ deux longueurs conformes : $∣ x - 120∣ \leq 0, 4$ et $∣ y - 120∣ \leq 0, 4$ . L'astuce est de faire apparaître le centre $120$ en l'ajoutant puis en le retranchant : $x - y = (x - 120) - (y - 120) .$ L'inégalité triangulaire donne alors $∣ x - y ∣ \leq ∣ x - 120∣ + ∣ - (y - 120) ∣ = ∣ x - 120∣ + ∣ y - 120∣ \leq 0, 4 + 0, 4 = 0, 8.$

Le point à retenir. Une valeur absolue cache toujours un centre et un rayon. Et pour majorer un écart entre deux quantités, on passe par leur référence commune : c'est l'usage courant de l'inégalité triangulaire dans les questions de tolérance.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.