Deux prix pour une même recette

1. La recette. En remplaçant $q$ par son expression, $$R(p)=p(400-5p)=400p-5p^2.$$ C'est un trinôme du second degré en $p$, de coefficient dominant $-5<0$. En $p=20$ : $q=400-100=300$ articles, donc $R(20)=20\times 300=6000$ euros.

2. Le seuil de $7500$ euros. On ramène tout d'un côté : $$R(p)>7500⟺-5p^2+400p-7500>0⟺p^2-80p+1500<0,$$ la dernière équivalence venant de la division par $-5$, qui inverse le sens de l'inégalité. Pour ce nouveau trinôme, $$\Delta =6400-6000=400,\sqrt{\Delta }=20,$$ d'où les racines $\frac{80-20}{2}=30$ et $\frac{80+20}{2}=50$. Le coefficient dominant vaut $1>0$, donc l'expression est négative entre les racines : $$S=\left]30;50\right[.$$ La recette dépasse $7500$ euros pour un prix strictement compris entre $30$ et $50$ euros.

3. Le maximum. La parabole est tournée vers le bas, son sommet est en $$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{400}{2\times (-5)}=40.$$ Alors $q=400-200=200$ articles et $$R(40)=40\times 200=8000\text{ euros}.$$

Contrôle : $40$ est bien au milieu de $30$ et $50$, ce qui est attendu — le sommet d'une parabole se trouve à mi-chemin entre deux points de même hauteur.