Développer trois expressions

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 — Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue · Développer et factoriser

Énoncé

Développer et réduire : $A = (3 x - 4)^{2}, B = (2 x + 5) (2 x - 5), C = (x + 1) (x - 3) + (x + 2)^{2} .$

Corrigé

$A = (3 x - 4)^{2}$ . C'est l'identité $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ avec $a = 3 x$ et $b = 4$ : $A = (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 4 + 4^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16.$ Le double produit $- 24 x$ est le terme que l'on oublie le plus souvent : il ne faut jamais écrire $(3 x - 4)^{2} = 9 x^{2} + 16$ .

$B = (2 x + 5) (2 x - 5)$ . C'est l'identité $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ avec $a = 2 x$ et $b = 5$ : $B = (2 x)^{2} - 5^{2} = 4 x^{2} - 25.$ Ici il n'y a pas de terme en $x$ : les deux doubles produits s'annulent.

$C = (x + 1) (x - 3) + (x + 2)^{2}$ . On développe chaque morceau, puis on réduit. $(x + 1) (x - 3) = x^{2} - 3 x + x - 3 = x^{2} - 2 x - 3,$ $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4.$ En ajoutant : $C = (x^{2} - 2 x - 3) + (x^{2} + 4 x + 4) = 2 x^{2} + 2 x + 1.$ Contrôle en $x = 1$ : $(2) (- 2) + 9 = - 4 + 9 = 5$ d'un côté, et $2 + 2 + 1 = 5$ de l'autre.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.