Factoriser trois expressions

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 — Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue · Développer et factoriser

Énoncé

Factoriser : $A = 49 x^{2} - 16, B = x^{2} + 12 x + 36, C = 5 x^{3} - 45 x .$

Corrigé

La règle d'ordre est toujours la même : le facteur commun d'abord, l'identité remarquable ensuite.

$A = 49 x^{2} - 16$ . Il n'y a pas de facteur commun. On reconnaît $a^{2} - b^{2}$ avec $a = 7 x$ (car $(7 x)^{2} = 49 x^{2}$ ) et $b = 4$ (car $4^{2} = 16$ ) : $A = (7 x - 4) (7 x + 4) .$

$B = x^{2} + 12 x + 36$ . On soupçonne $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ avec $a = x$ et $b = 6$ , puisque $36 = 6^{2}$ . Il reste à vérifier le double produit : $2 \times x \times 6 = 12 x$ , qui est bien le terme du milieu. Donc $B = (x + 6)^{2} .$ Sans cette vérification on ne peut pas conclure : $x^{2} + 5 x + 36$ ne serait pas un carré.

$C = 5 x^{3} - 45 x$ . Cette fois il y a un facteur commun, $5 x$ : $C = 5 x (x^{2} - 9) .$ Le second facteur est une différence de carrés, avec $a = x$ et $b = 3$ : $C = 5 x (x - 3) (x + 3) .$

Contrôle en $x = 2$ : $5 \times 8 - 90 = - 50$ d'un côté ; et $5 \times 2 \times (- 1) \times 5 = - 50$ de l'autre.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.