Factoriser un polynôme de degré quatre

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 — Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue · Polynômes de degré trois et plus

Énoncé

Soit $P (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6$ .

1. Vérifier que $1$ et $- 1$ sont racines de $P$ . 2. En déduire une factorisation complète de $P (x)$ . 3. Résoudre $P (x) = 0$ , puis $P (x) < 0$ .

Corrigé

1. Les deux racines. $P (1) = 1 - 5 + 5 + 5 - 6 = 0, P (- 1) = 1 + 5 + 5 - 5 - 6 = 0.$ Les deux valeurs annulent $P$ : ce sont bien des racines.

2. La factorisation. Le théorème du cours dit qu'une racine $a$ permet de mettre $(x - a)$ en facteur. Comme $1$ et $- 1$ sont racines, $P$ est divisible par $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ . Posons la division : $x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6 = (x^{2} - 1) (x^{2} - 5 x + 6) .$ On le vérifie en développant : $(x^{2} - 1) (x^{2} - 5 x + 6) = x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - x^{2} + 5 x - 6 = x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6$ . C'est bien $P (x)$ .

Le second facteur est du second degré : $Δ = 25 - 24 = 1$ , racines $\frac{5 - 1}{2} = 2$ et $\frac{5 + 1}{2} = 3$ . Donc $P (x) = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x - 3) .$ Contrôle : $P (2) = 16 - 40 + 20 + 10 - 6 = 0$ et $P (3) = 81 - 135 + 45 + 15 - 6 = 0$ .

3. Équation et inéquation. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est, donc $P (x) = 0 ⟺ x \in {- 1, 1, 2, 3} .$ Pour le signe, on range les quatre racines dans l'ordre : $- 1 < 1 < 2 < 3$ . Le coefficient dominant est $1 > 0$ , donc $P$ est positif à droite de $3$ ; chaque racine étant simple, le signe change à chaque passage. En remontant de la droite vers la gauche : $+$ sur $] 3; + \infty [$ , $-$ sur $] 2; 3 [$ , $+$ sur $] 1; 2 [$ , $-$ sur $] - 1; 1 [$ , $+$ sur $] - \infty; - 1 [$ . D'où $P (x) < 0 ⟺ x \in] - 1; 1 [\cup] 2; 3 [.$

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