Factoriser un polynôme de degré trois

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Énoncé

Soit $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ . Vérifier que $1$ est racine de $P$ , effectuer la division de $P (x)$ par $(x - 1)$ , factoriser complètement $P (x)$ et résoudre $P (x) \geq 0$ .

Corrigé

Racine. $P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ .

Division. Elle donne $P (x) = (x - 1) (x^{2} - x - 6)$ , ce que l'on vérifie en développant : $(x - 1) (x^{2} - x - 6) = x^{3} - x^{2} - 6 x - x^{2} + x + 6 = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ .

Factorisation. Pour $x^{2} - x - 6$ : $Δ = 1 + 24 = 25$ , racines $\frac{1 - 5}{2} = - 2$ et $\frac{1 + 5}{2} = 3$ . Donc $P (x) = (x - 1) (x + 2) (x - 3)$ .

Signe. Les racines rangées sont $- 2 < 1 < 3$ ; le produit de trois facteurs change de signe à chaque racine, et $P$ est positif pour les grandes valeurs de $x$ . Donc $P (x) \geq 0 ⟺ x \in [- 2; 1] \cup [3; + \infty [$ . Contrôle : $P (0) = 6 > 0$ et $0 \in [- 2; 1]$ ; $P (2) = 8 - 8 - 10 + 6 = - 4 < 0$ et $2$ est bien hors de l'ensemble trouvé.

Énoncé

Corrigé

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