Le signe de deux quotients

Un quotient n'est jamais défini là où son dénominateur s'annule : la première chose à écrire est donc la valeur interdite. Ensuite on étudie le signe du numérateur et celui du dénominateur séparément, et l'on applique la règle des signes.

1. Première inéquation. La valeur interdite est $x=-1$. Le numérateur $2x-6$ s'annule en $3$ et il est négatif avant $3$, positif après ; le dénominateur $x+1$ s'annule en $-1$ et il est négatif avant $-1$, positif après. On range les deux points : $-1<3$.

Sur $\left]-\infty ;-1\right[$, les deux sont négatifs, le quotient est positif. Sur $\left]-1;3\right[$, le numérateur est négatif et le dénominateur positif : le quotient est négatif. Sur $\left]3;+\infty \right[$, les deux sont positifs, le quotient est positif.

Le quotient s'annule en $3$, où l'inégalité large l'accepte, et $-1$ reste exclu comme valeur interdite. D'où $$S_1=\left]-1;3\right].$$ Contrôle : $x=0$ donne $\frac{-6}{1}=-6\le 0$, et $0\in S_1$.

2. Seconde inéquation. La valeur interdite est $x=3$. On factorise le numérateur : $x^2-4=(x-2)(x+2)$, qui s'annule en $-2$ et $2$ et qui est positif à l'extérieur de ces racines, négatif entre elles.

Les trois points à placer sont $-2$, $2$ et $3$. Sur $\left]-\infty ;-2\right[$ : numérateur $+$, dénominateur $-$, quotient $-$. Sur $\left]-2;2\right[$ : $-$ et $-$, quotient $+$. Sur $\left]2;3\right[$ : $+$ et $-$, quotient $-$. Sur $\left]3;+\infty \right[$ : $+$ et $+$, quotient $+$.

L'inégalité étant stricte, les racines du numérateur sont exclues : $$S_2=\left]-2;2\right[\cup \left]3;+\infty \right[.$$ Contrôle : $x=0$ donne $\frac{-4}{-3}>0$, et $0\in S_2$ ; $x=4$ donne $\frac{12}{1}>0$, et $4\in S_2$.