Recette, coût et bénéfice

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 — Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue · Second degré

Énoncé

Une entreprise vend $q$ articles au prix unitaire de $50$ euros. Son coût total de production est $C (q) = q^{2} + 10 q + 400$ euros.

Exprimer la recette $R (q)$ puis le bénéfice $B (q) = R (q) - C (q)$ .
Pour quelles quantités l'entreprise est-elle bénéficiaire ?
Quelle quantité rend le bénéfice maximal, et combien vaut-il ?

Corrigé

1. $R (q) = 50 q$ , donc $B (q) = 50 q - (q^{2} + 10 q + 400) = - q^{2} + 40 q - 400$ .

2. $Δ = 4 0^{2} - 4 \times (- 1) \times (- 400) = 1600 - 1600 = 0$ . Il y a une racine double $q_{0} = \frac{- 40}{- 2} = 20$ , et $B (q) = - (q - 20)^{2}$ . Le bénéfice est donc toujours négatif ou nul : l'entreprise ne gagne jamais d'argent et atteint au mieux l'équilibre.

3. Le maximum est $B (20) = 0$ , atteint pour $q = 20$ articles. Un discriminant nul décrit exactement une entreprise au seuil : le prix de vente couvre le coût pour une seule quantité, et pour aucune autre. À $51$ euros l'article, $Δ = 4 1^{2} - 1600 = 81 > 0$ et une plage bénéficiaire apparaîtrait.

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