Second degré, du discriminant au signe

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 — Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue · Second degré

Énoncé

Soit $f (x) = 2 x^{2} - 5 x - 3$ . Calculer $Δ$ et les racines de $f$ , factoriser $f (x)$ , donner son signe selon $x$ , puis vérifier la somme et le produit des racines.

Corrigé

Racines. $Δ = (- 5)^{2} - 4 \times 2 \times (- 3) = 25 + 24 = 49$ , donc $Δ = 7$ et

$x_{1} = \frac{5 - 7}{4} = - \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{5 + 7}{4} = 3.$

Factorisation. $f (x) = 2 (x + \frac{1}{2}) (x - 3)$ .

Signe. $a = 2 > 0$ : $f$ est positive à l'extérieur des racines, négative entre elles. Donc $f (x) \geq 0$ sur $] - \infty; - \frac{1}{2}] \cup [3; + \infty [$ , et $f (x) \leq 0$ sur $[- \frac{1}{2}; 3]$ . Contrôle : $x_{1} + x_{2} = \frac{5}{2} = - \frac{b}{a}$ et $x_{1} x_{2} = - \frac{3}{2} = \frac{c}{a}$ .

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