Second degré, du discriminant au signe

Racines. $\Delta =(-5{)}^2-4\times 2\times (-3)=25+24=49$, donc $\sqrt{\Delta }=7$ et

$$x_1=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2},x_2=\frac{5+7}{4}=3.$$

Factorisation. $f(x)=2\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-3)$.

Signe. $a=2>0$ : $f$ est positive à l'extérieur des racines, négative entre elles. Donc $f(x)\ge 0$ sur $\left]-\infty ;-\frac{1}{2}\right]\cup \left[3;+\infty \right[$, et $f(x)\le 0$ sur $\left[-\frac{1}{2};3\right]$. Contrôle : $x_1+x_2=\frac{5}{2}=-\frac{b}{a}$ et $x_1{x}_2=-\frac{3}{2}=\frac{c}{a}$.