Somme et produit : retrouver deux nombres

Notons $L$ et $\ell$ les deux dimensions, en mètres, avec $L>0$ et $\ell >0$.

1. Le système et le trinôme. Le périmètre vaut $2(L+\ell )=34$ et l'aire $L\ell =60$, d'où $$\{\begin{array}{rl}L+\ell & =17\\ L\ell & =60\end{array}$$ Le cours donne, pour un trinôme $a{x}^2+bx+c$ de racines $x_1$ et $x_2$, $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. En prenant $a=1$, on lit donc $b=-17$ et $c=60$ : $L$ et $\ell$ sont les racines de $$T(x)=x^2-17x+60.$$

2. Les dimensions. $\Delta =289-240=49$, donc $\sqrt{\Delta }=7$ et $$x_1=\frac{17-7}{2}=5,x_2=\frac{17+7}{2}=12.$$ Le terrain mesure donc $12$ mètres sur $5$ mètres.

Contrôle : $2\times (12+5)=34$ et $12\times 5=60$. Les deux conditions de l'énoncé sont vérifiées.

3. Le second terrain n'existe pas. Avec la même méthode, les dimensions seraient racines de $x^2-17x+80$, dont le discriminant vaut $$\Delta =289-320=-31<0.$$ Aucune racine réelle, donc aucun couple de dimensions ne convient.

L'interprétation. À périmètre fixé, l'aire est maximale pour le carré, ici de côté $\frac{34}{4}=8,5$ mètres et d'aire $8,5^2=72,25$ mètres carrés. Comme $80>72,25$, l'aire demandée est hors d'atteinte : le discriminant négatif ne fait que confirmer ce que la géométrie annonçait.