Trois expressions à réduire

1. L'expression $A$. On traite le numérateur d'abord, en appliquant $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ puis $(x^n{)}^m=x^{nm}$ : $$(2x^3{)}^2=2^2(x^3{)}^2=4x^6.$$ Le numérateur vaut donc $4x^6\times 5x^{-1}=20x^{6-1}=20x^5$, en ajoutant les exposants d'un produit de puissances d'un même nombre. Enfin $$A=\frac{20x^5}{10x^4}=2x^{5-4}=2x.$$ Contrôle en $x=1$ : le numérateur vaut $4\times 5=20$, le dénominateur $10$, donc $A=2$, et $2x=2$.

2. L'expression $B$. La racine traverse les produits : on extrait donc de chaque racine le plus grand carré parfait qu'elle contient. $$\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2},\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}.$$ D'où $B=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\sqrt{2}=(5-3+1)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.

Le piège à éviter : on n'écrit pas $\sqrt{50}-\sqrt{18}=\sqrt{32}$. La racine ne traverse pas les sommes ; ici $\sqrt{32}\approx 5,66$ alors que $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}\approx 2,83$.

3. L'expression $C$. On multiplie haut et bas par $\sqrt{3}$, ce qui ne change pas le quotient : $$C=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}.$$ On a employé ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$. Numériquement, $\frac{6}{1,732}\approx 3,46$ et $2\times 1,732\approx 3,46$.