Trois expressions qui ne dépendent pas de $x$

1. Une différence de carrés. Deux chemins mènent au résultat ; le second est le plus court.

En développant : $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ et $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$. En retranchant, les termes $x^2$ et $9$ disparaissent et il reste $6x-(-6x)=12x$.

En factorisant : l'expression est de la forme $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec $a=x+3$ et $b=x-3$. Alors $a-b=6$ et $a+b=2x$, donc le produit vaut $6\times 2x=12x$. Même résultat, sans développer.

2. Une expression constante. Développons chaque morceau : $$(x+2{)}^2=x^2+4x+4,(x+1)(x+3)=x^2+3x+x+3=x^2+4x+3.$$ La différence vaut $D(x)=(x^2+4x+4)-(x^2+4x+3)=1$. Tous les termes en $x$ se sont annulés : $D$ vaut $1$ pour tout réel $x$.

Contrôle en deux points : $x=0$ donne $4-3=1$ ; $x=10$ donne $144-11\times 13=144-143=1$.

3. Le quotient. Le numérateur est encore une différence de carrés, avec $a=x+1$ et $b=x-1$ : $a-b=2$ et $a+b=2x$, donc il vaut $4x$. Comme $x\ne 0$, on peut simplifier : $$Q(x)=\frac{4x}{4x}=1.$$

Le point délicat est l'hypothèse $x\ne 0$ : elle n'est pas décorative, c'est elle qui autorise la simplification. En $x=0$ le quotient s'écrirait $\frac{0}{0}$ et n'aurait aucun sens.