Un trinôme et son signe

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 — Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue · Second degré et valeur absolue

Énoncé

Soit $f (x) = x^{2} - 7 x + 10$ .

1. Calculer $Δ$ , puis les racines de $f$ . 2. Factoriser $f (x)$ et donner son signe selon $x$ . 3. Résoudre $f (x) \leq 0$ .

Corrigé

1. Discriminant et racines. Ici $a = 1$ , $b = - 7$ , $c = 10$ : $Δ = (- 7)^{2} - 4 \times 1 \times 10 = 49 - 40 = 9 > 0.$ Il y a donc deux racines, et $Δ = 3$ : $x_{1} = \frac{7 - 3}{2} = 2, x_{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5.$ Contrôle par somme et produit : $2 + 5 = 7 = - \frac{b}{a}$ et $2 \times 5 = 10 = \frac{c}{a}$ . Les deux tombent juste.

2. Factorisation et signe. Le cours donne $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , soit $f (x) = (x - 2) (x - 5) .$ Le coefficient dominant vaut $a = 1 > 0$ : le trinôme est donc positif partout, sauf strictement entre les racines où il est négatif.

$f (x) > 0$ sur $] - \infty; 2 [$ et sur $] 5; + \infty [$ ; $f (x) < 0$ sur $] 2; 5 [$ ; et $f (2) = f (5) = 0$ .

3. L'inéquation. L'inégalité étant large, les racines sont acceptées : $S = [2; 5] .$ Contrôle : $f (3) = 9 - 21 + 10 = - 2 \leq 0$ , et $3 \in S$ ; $f (0) = 10 > 0$ , et $0 \in / S$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.