Un trinôme et son signe

1. Discriminant et racines. Ici $a=1$, $b=-7$, $c=10$ : $$\Delta =(-7{)}^2-4\times 1\times 10=49-40=9>0.$$ Il y a donc deux racines, et $\sqrt{\Delta }=3$ : $$x_1=\frac{7-3}{2}=2,x_2=\frac{7+3}{2}=5.$$ Contrôle par somme et produit : $2+5=7=-\frac{b}{a}$ et $2\times 5=10=\frac{c}{a}$. Les deux tombent juste.

2. Factorisation et signe. Le cours donne $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, soit $$f(x)=(x-2)(x-5).$$ Le coefficient dominant vaut $a=1>0$ : le trinôme est donc positif partout, sauf strictement entre les racines où il est négatif.

$f(x)>0$ sur $\left]-\infty ;2\right[$ et sur $\left]5;+\infty \right[$ ; $f(x)<0$ sur $\left]2;5\right[$ ; et $f(2)=f(5)=0$.

3. L'inéquation. L'inégalité étant large, les racines sont acceptées : $$S=[2;5].$$ Contrôle : $f(3)=9-21+10=-2\le 0$, et $3\in S$ ; $f(0)=10>0$, et $0\notin S$.