Un trinôme qui dépend d'un paramètre

Il s'agit d'un trinôme en $x$, de coefficients $a=1$, $b=-2m$ et $c=m+6$. Son discriminant vaut $$\Delta =b^2-4ac=4m^2-4(m+6)=4\left(m^2-m-6\right).$$

Le nombre de solutions dépend du signe de $\Delta$, donc du signe du trinôme $m^2-m-6$ — un second discriminant, en $m$ cette fois : $${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-4\times 1\times (-6)=25,m=\frac{1-5}{2}=-2\text{ou}m=\frac{1+5}{2}=3.$$ Donc $m^2-m-6=(m+2)(m-3)$. Son coefficient dominant est positif : il est donc positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.

On conclut :

• si $m<-2$ ou $m>3$ : $\Delta >0$, l'équation a deux solutions distinctes ;
• si $m=-2$ ou $m=3$ : $\Delta =0$, elle a une solution double ;
• si $-2<m<3$ : $\Delta <0$, elle n'a aucune solution réelle.

Contrôle. Pour $m=0$, qui est entre $-2$ et $3$, $f_0(x)=x^2+6$ n'a effectivement aucune racine. Pour $m=5$, $f_5(x)=x^2-10x+11$ a bien $\Delta =100-44=56>0$.

Le point à retenir. Un discriminant qui dépend d'un paramètre est lui-même une expression à étudier : ici un trinôme, dont on cherche le signe comme pour n'importe quel autre. Deux étages de second degré, et l'on ne confond pas l'inconnue $x$ avec le paramètre $m$.