Un trinôme, son signe et un seuil

1. Discriminant et racines. Ici $a=-3$, $b=5$, $c=2$, donc $$\Delta =b^2-4ac=25-4\times (-3)\times 2=25+24=49>0.$$ Il y a donc deux racines, et $\sqrt{\Delta }=7$ : $$x_1=\frac{-5-7}{-6}=2,x_2=\frac{-5+7}{-6}=-\frac{1}{3}.$$ La factorisation s'écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, soit $$f(x)=-3(x-2)\left(x+\frac{1}{3}\right).$$ Contrôle par somme et produit : $x_1+x_2=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}=-\frac{b}{a}$, et $x_1{x}_2=-\frac{2}{3}=\frac{c}{a}$. Les deux tombent juste.

2. Le signe. La règle du cours : un trinôme est du signe de $a$ partout, sauf strictement entre les racines, où il est du signe contraire. Ici $a=-3<0$, et les racines rangées dans l'ordre sont $-\frac{1}{3}<2$. Donc

$$f(x)<0\text{ sur }\left]-\infty ;-\frac{1}{3}\right[\text{ et sur }\left]2;+\infty \right[,f(x)>0\text{ sur }\left]-\frac{1}{3};2\right[,$$

et $f\left(-\frac{1}{3}\right)=f(2)=0$.

3. L'inéquation. On ramène tout d'un côté, faute de quoi on ne peut pas factoriser : $$f(x)\ge 2⟺-3x^2+5x\ge 0⟺x(-3x+5)\ge 0.$$ Ce produit s'annule en $0$ et en $\frac{5}{3}$. Le trinôme $-3x^2+5x$ a un coefficient dominant négatif, donc il est positif entre ses racines : $$S=\left[0;\frac{5}{3}\right].$$ Contrôle : $x=1$ donne $f(1)=4\ge 2$, et $1$ est bien dans $S$.