Une équation bicarrée

L'équation n'est pas du second degré — elle est de degré $4$ — mais elle ne contient que des puissances paires de $x$. On pose donc $X=x^2$, avec la contrainte $X\ge 0$, et l'on obtient $$X^2-13X+36=0.$$

Le trinôme en $X$. $\Delta =169-144=25$, donc $$X=\frac{13-5}{2}=4\text{ou}X=\frac{13+5}{2}=9.$$ Les deux valeurs sont positives, donc toutes deux acceptables.

Retour à $x$. $x^2=4$ donne $x=-2$ ou $x=2$ ; $x^2=9$ donne $x=-3$ ou $x=3$. L'équation a donc quatre solutions : $$\mathcal{S}=\{-3;-2;2;3\}.$$

L'inéquation. Le trinôme $X^2-13X+36$ est du signe de son coefficient dominant à l'extérieur des racines, donc négatif ou nul pour $4\le X\le 9$. En revenant à $x$ : $$4\le x^2\le 9⟺2\le |x|\le 3⟺x\in [-3;-2]\cup [2;3].$$

Le point à retenir. Le point délicat est le retour : chaque valeur positive de $X$ donne deux valeurs de $x$, et une valeur négative de $X$ n'en donnerait aucune. C'est aussi pourquoi l'encadrement se traduit avec une valeur absolue, puis en deux intervalles symétriques.