Une hausse et une baisse

1. Après la hausse. Augmenter de $12\%$, c'est multiplier par $1+0,12=1,12$ : $$250\times 1,12=280\text{ euros}.$$ Contrôle : la hausse porte sur $30$ euros, et $\frac{30}{250}=0,12$.

2. Après la baisse. Diminuer de $12\%$, c'est multiplier par $1-0,12=0,88$ : $$280\times 0,88=246,40\text{ euros}.$$

3. Non, et l'écart n'est pas dû à un arrondi. Le prix final vaut $$250\times 1,12\times 0,88=250\times 0,9856=246,40.$$ Le coefficient global est $0,9856$, donc strictement inférieur à $1$ : le client paie $3,60$ euros de moins qu'au départ.

La raison, en une identité remarquable. Pour un prix $p$ et un taux $t$, $$p(1+t)(1-t)=p(1-t^2).$$ Le prix final est donc toujours inférieur au prix initial, de $p{t}^2$ — ici $250\times 0,12^2=250\times 0,0144=3,60$ euros, exactement l'écart constaté. L'ordre des deux opérations n'y change rien, puisque la multiplication est commutative.