Une simplification et deux factorisations

1. On applique les règles des puissances une par une, sans jamais « simplifier » deux étages à la fois.

D'abord le numérateur : $(3x^2{)}^3=3^3\times (x^2{)}^3=27x^6$, puis $27x^6\times x^{-4}=27x^{6-4}=27x^2$. Il reste $$A=\frac{27x^2}{9x^5}=3x^{2-5}=3x^{-3}=\frac{3}{x^3}.$$

2. Pour $B$, on reconnaît le carré d'une différence : $9x^2=(3x{)}^2$, $16=4^2$, et le double produit $2\times 3x\times 4=24x$ est bien le terme du milieu. Donc $$B=(3x-4{)}^2.$$

Pour $C$, c'est une différence de deux carrés, appliquée deux fois : $$C=(x^2{)}^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4).$$ On s'arrête là : $x^2+4$ ne se factorise pas, car il est strictement positif pour tout réel $x$ et n'a donc aucune racine.

Le point à retenir. Un exposant négatif n'est pas un signe moins : $x^{-4}$ vaut $\frac{1}{x^4}$. Et avant de factoriser un carré parfait, on vérifie le double produit — c'est lui qui distingue $9x^2-24x+16$ de $9x^2-25x+16$, qui n'est pas un carré.