Une simplification et deux factorisations

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 — Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue · Puissances et calcul littéral

Énoncé

1. Simplifier $A = \frac{( 3 x ^{2} ) ^{3} \times x ^{- 4}}{9 x ^{5}}$ pour $x \neq = 0$ .

2. Factoriser $B = 9 x^{2} - 24 x + 16$ et $C = x^{4} - 16$ .

Corrigé

1. On applique les règles des puissances une par une, sans jamais « simplifier » deux étages à la fois.

D'abord le numérateur : $(3 x^{2})^{3} = 3^{3} \times (x^{2})^{3} = 27 x^{6}$ , puis $27 x^{6} \times x^{- 4} = 27 x^{6 - 4} = 27 x^{2}$ . Il reste $A = \frac{27 x ^{2}}{9 x ^{5}} = 3 x^{2 - 5} = 3 x^{- 3} = \frac{3}{x ^{3}} .$

2. Pour $B$ , on reconnaît le carré d'une différence : $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ , $16 = 4^{2}$ , et le double produit $2 \times 3 x \times 4 = 24 x$ est bien le terme du milieu. Donc $B = (3 x - 4)^{2} .$

Pour $C$ , c'est une différence de deux carrés, appliquée deux fois : $C = (x^{2})^{2} - 4^{2} = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4) .$ On s'arrête là : $x^{2} + 4$ ne se factorise pas, car il est strictement positif pour tout réel $x$ et n'a donc aucune racine.

Le point à retenir. Un exposant négatif n'est pas un signe moins : $x^{- 4}$ vaut $\frac{1}{x ^{4}}$ . Et avant de factoriser un carré parfait, on vérifie le double produit — c'est lui qui distingue $9 x^{2} - 24 x + 16$ de $9 x^{2} - 25 x + 16$ , qui n'est pas un carré.

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