Une valeur absolue de chaque côté

1. L'équation. Deux nombres ont la même valeur absolue si et seulement s'ils sont égaux ou opposés : $$|A|=|B|⟺A=B\text{ ou }A=-B.$$

Premier cas : $2x-1=x+5$ donne $x=6$. Second cas : $2x-1=-(x+5)=-x-5$ donne $3x=-4$, soit $x=-\frac{4}{3}$.

Contrôle des deux. Pour $x=6$ : $|11|=11$ et $|11|=11$. Pour $x=-\frac{4}{3}$ : $2x-1=-\frac{11}{3}$ et $x+5=\frac{11}{3}$, dont les valeurs absolues valent toutes deux $\frac{11}{3}$. D'où $S=\left\{-\frac{4}{3},6\right\}$.

2. L'inéquation. Les deux membres sont positifs ou nuls ; élever au carré conserve alors l'ordre, et fait disparaître les valeurs absolues puisque $|t{|}^2=t^2$ : $$|x-2|\le |x+4|⟺(x-2{)}^2\le (x+4{)}^2.$$ On ramène tout d'un côté et l'on reconnaît une différence de carrés : $$(x+4{)}^2-(x-2{)}^2\ge 0⟺[(x+4)-(x-2)][(x+4)+(x-2)]\ge 0⟺6(2x+2)\ge 0.$$ Donc $2x+2\ge 0$, soit $x\ge -1$ et $$S=\left[-1;+\infty \right[.$$ Contrôle : $x=0$ donne $2\le 4$, vrai ; $x=-5$ donne $7\le 1$, faux.

L'interprétation. $|x-2|$ est la distance de $x$ à $2$, et $|x+4|=|x-(-4)|$ la distance de $x$ à $-4$. L'inéquation demande donc les points plus proches de $2$ que de $-4$. La frontière est le milieu du segment, c'est-à-dire $\frac{2+(-4)}{2}=-1$ : on retrouve la borne trouvée par le calcul.