Valeur absolue et distance

1. Trois valeurs absolues. La valeur absolue est le nombre « privé de son signe » : $$|-8|=8,|3-7|=|-4|=4,|5-5|=|0|=0.$$ On calcule toujours d'abord ce qui est à l'intérieur, puis on ôte le signe.

2. L'équation. Le cours donne la lecture qui évite tout calcul : $|x-4|$ est la distance entre $x$ et $4$ sur la droite réelle. Chercher les $x$ situés à la distance $3$ de $4$, c'est trouver les deux points à gauche et à droite : $$x=4-3=1\text{ou}x=4+3=7.$$ Donc $S=\{1;7\}$. Contrôle : $|1-4|=3$ et $|7-4|=3$.

3. L'inéquation. Cette fois on cherche les $x$ à une distance au plus $3$ de $4$ : ce sont tous les points du segment compris entre les deux précédents. Formellement, $$|x-4|\le 3⟺-3\le x-4\le 3⟺1\le x\le 7,$$ en ajoutant $4$ aux trois membres. D'où $$S=[1;7].$$ Contrôle : $x=5$ donne $|1|=1\le 3$, et $5\in S$ ; $x=9$ donne $|5|=5>3$, et $9\notin S$.