Valeur absolue et tolérance

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 2 — Calculs algébriques, polynômes et valeur absolue · Quotients et valeur absolue

Énoncé

Une machine remplit des sachets de $250$ grammes. Le cahier des charges impose que la masse $m$ d'un sachet ne s'écarte pas de $250$ grammes de plus de $6$ grammes.

Traduire cette exigence par une inéquation avec une valeur absolue, puis par un intervalle.
Résoudre $∣2 m - 500∣ \leq 12$ et comparer avec la question 1.
Résoudre $∣ m - 250∣ > 6$ et dire ce que cet ensemble représente.

Corrigé

1. L'écart à $250$ est $∣ m - 250∣$ , donc l'exigence s'écrit

$∣ m - 250∣ \leq 6 ⟺ - 6 \leq m - 250 \leq 6 ⟺ m \in [244; 256] .$

2. $∣2 m - 500∣ = ∣2 (m - 250) ∣ = 2 ∣ m - 250∣$ , donc $∣2 m - 500∣ \leq 12$ équivaut à $∣ m - 250∣ \leq 6$ : c'est exactement la même condition. Sortir le facteur $2$ de la valeur absolue évite de refaire le calcul.

3. $∣ m - 250∣ > 6$ décrit les sachets hors tolérance : $m < 244$ ou $m > 256$ , soit $] - \infty; 244 [\cup] 256; + \infty [$ . C'est le complémentaire dans $R$ de l'intervalle de la question 1 — et l'on retrouve, sur un cas concret, que la négation d'un « et » est un « ou ». Le réflexe à garder : devant $∣ u ∣ \leq r$ , on cherche toujours le centre et le rayon, ici $250$ et $6$ .

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