Calculer des images et des antécédents

1. Domaine et images. Le dénominateur s'annule pour $x=-3$, donc $D_f=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Puis $$f(0)=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3},f(2)=\frac{4-1}{5}=\frac{3}{5}=0,6.$$

2. Les antécédents de $1$. On résout $f(x)=1$. Comme $x\ne -3$, on peut multiplier les deux membres par $x+3$ : $$\frac{2x-1}{x+3}=1⟺2x-1=x+3⟺x=4.$$ Il y a donc un antécédent et un seul, $x=4$. Contrôle : $f(4)=\frac{7}{7}=1$.

3. Le nombre $2$ n'a aucun antécédent. L'équation $f(x)=2$ s'écrit $$2x-1=2(x+3)=2x+6,$$ c'est-à-dire $-1=6$, ce qui est faux. Aucune valeur de $x$ ne convient.

L'explication. En écrivant $f(x)=\frac{2(x+3)-7}{x+3}=2-\frac{7}{x+3}$, on voit que $f(x)$ vaut $2$ seulement si $\frac{7}{x+3}$ est nul, ce qui n'arrive jamais. La valeur $2$ est celle de l'asymptote horizontale : la courbe s'en approche sans jamais l'atteindre.