Composer deux fonctions

1. Les deux composées. On applique la définition $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ : dans $g\circ f$, c'est $f$ qui agit d'abord. $$(g\circ f)(x)=g(x+4)=(x+4{)}^2=x^2+8x+16.$$ Dans l'autre sens, c'est $g$ qui agit d'abord : $$(f\circ g)(x)=f\left(x^2\right)=x^2+4.$$

2. En $x=3$. $$(g\circ f)(3)=(3+4{)}^2=49,(f\circ g)(3)=9+4=13.$$ Les deux nombres diffèrent nettement. Dans le premier cas on ajoute $4$ puis on élève au carré ; dans le second on élève au carré puis on ajoute $4$.

3. Non, elles ne sont pas égales. La valeur $x=3$ suffit à le prouver : une seule valeur où deux fonctions diffèrent suffit à les distinguer, comme un contre-exemple abat un « pour tout ».

On peut aussi comparer les expressions : $x^2+8x+16$ et $x^2+4$ diffèrent de $8x+12$, qui ne s'annule que pour $x=-\frac{3}{2}$. Les deux courbes ne se croisent donc qu'en un seul point.

Ce qu'il faut retenir. La composition n'est pas commutative : l'ordre des deux opérations change le résultat, et l'écriture $g\circ f$ se lit de droite à gauche.