Coût moyen d'une production

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 4 — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité · Quotients, asymptotes et lecture graphique

Énoncé

Une entreprise a pour coût total $C (q) = 12 q + 900$ euros pour $q$ articles produits ( $q > 0$ ). 1. Écrire le coût moyen $C_{m} (q)$ . 2. Calculer sa limite en $+ \infty$ et l'interpréter. 3. À partir de quelle quantité le coût moyen descend-il sous $20$ euros ?

Corrigé

1. $C_{m} (q) = \frac{12 q + 900}{q} = 12 + \frac{900}{q}$ .

2. $\frac{900}{q} \to 0$ , donc $C_{m} (q) \to 12$ . La droite $y = 12$ est asymptote horizontale : le coût moyen s'approche du coût variable unitaire sans jamais l'atteindre, car les charges fixes se diluent mais ne disparaissent pas.

3. $12 + \frac{900}{q} < 20 ⟺ \frac{900}{q} < 8 ⟺ q > 112, 5$ (en multipliant par $q > 0$ ). Il faut donc produire au moins $113$ articles.

Contrôle. $C_{m} (113) = 12 + \frac{900}{113} \approx 19, 96 < 20$ , et $C_{m} (112) = 12 + \frac{900}{112} \approx 20, 04 > 20$ .

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