Décomposer une fonction en composée

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 4 — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité · Composition et décomposition

Énoncé

Écrire chacune des fonctions suivantes comme composée de deux fonctions simples, en précisant laquelle agit la première, et donner son ensemble de définition.

$u (x) = 3 x - 5, v (x) = \frac{1}{( 2 x + 1 ) ^{2}}, w (x) = (x^{2} - 4)^{3} .$

Corrigé

Décomposer, c'est repérer ce que l'on calcule en premier quand on évalue l'expression à la main : c'est ce calcul-là qui est la fonction intérieure.

La fonction $u$ . On calcule d'abord $3 x - 5$ , puis on en prend la racine. Posons $a (x) = 3 x - 5$ et $b (t) = t$ : alors $u = b \circ a$ , et c'est $a$ qui agit la première. Le domaine exige $3 x - 5 \geq 0$ , soit $D_{u} = [\frac{5}{3}; + \infty [.$

La fonction $v$ . On calcule d'abord $2 x + 1$ , puis on l'élève au carré, puis on prend l'inverse. En regroupant les deux dernières étapes, posons $a (x) = 2 x + 1$ et $c (t) = \frac{1}{t ^{2}}$ : alors $v = c \circ a$ . Le domaine exige $2 x + 1 \neq = 0$ , donc $D_{v} = R ∖ {- \frac{1}{2}} .$

La fonction $w$ . On calcule d'abord $x^{2} - 4$ , puis on l'élève au cube. Posons $a (x) = x^{2} - 4$ et $d (t) = t^{3}$ : alors $w = d \circ a$ , et $D_{w} = R$ , puisqu'aucun des deux calculs n'est interdit.

Le contrôle qui ne coûte rien. On vérifie la décomposition sur une valeur. Pour $w$ en $x = 3$ : $a (3) = 5$ puis $d (5) = 125$ , et directement $(9 - 4)^{3} = 125$ . Si les deux nombres diffèrent, c'est que l'ordre a été inversé — l'erreur la plus fréquente, puisque $g \circ f$ se lit de droite à gauche.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.