Deux composées et leurs domaines

Pour une composée, deux conditions se superposent : $x$ doit appartenir au domaine de la fonction appliquée en premier, et l'image obtenue doit appartenir au domaine de la seconde.

1. $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$.

Il faut d'abord $x\ge 0$ pour que $\sqrt{x}$ existe, puis $\sqrt{x}-2\ne 0$, c'est-à-dire $\sqrt{x}\ne 2$, donc $x\ne 4$. D'où $${\mathcal{D}}_{f\circ g}=[0;4[\cup ]4;+\infty [.$$

2. $(g\circ f)(x)=g(f(x))=\sqrt{\frac{1}{x-2}}$.

Il faut $x\ne 2$, puis $\frac{1}{x-2}\ge 0$. Un quotient de numérateur $1>0$ est positif exactement quand son dénominateur l'est, donc $x-2>0$ (le cas $x-2=0$ étant déjà exclu). D'où $${\mathcal{D}}_{g\circ f}=]2;+\infty [.$$

3. $(f\circ g)(9)=\frac{1}{\sqrt{9}-2}=\frac{1}{3-2}=1$.

Le point à retenir. L'ordre de composition change tout : les deux domaines trouvés n'ont même pas la même forme. Et le domaine ne se lit pas sur l'expression finale seule — $\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ pourrait faire oublier la condition $x\ge 0$, qui vient de l'étape intermédiaire.