Deux composées et une équation

1. La composée $g\circ f$. C'est $f$ qui agit d'abord : $$(g\circ f)(x)=g(f(x))=\sqrt{x^2-4}.$$ Elle est définie lorsque $f(x)$ appartient au domaine de $g$, c'est-à-dire lorsque $x^2-4\ge 0$. Comme $x^2-4=(x-2)(x+2)$ a un coefficient dominant positif, il est positif à l'extérieur de ses racines : $$D_{g\circ f}=\left]-\infty ;-2\right]\cup \left[2;+\infty \right[.$$

2. L'équation. Les deux membres de $\sqrt{x^2-4}=3$ sont positifs, on peut donc élever au carré sans rien perdre : $$x^2-4=9⟺x^2=13⟺x=\sqrt{13}\text{ ou }x=-\sqrt{13}.$$ Les deux valeurs sont acceptables, car $\sqrt{13}\approx 3,61>2$ et $-\sqrt{13}<-2$ : elles appartiennent bien au domaine. $$S=\left\{-\sqrt{13},\sqrt{13}\right\}.$$

3. La composée $f\circ g$. Cette fois $g$ agit d'abord : $$(f\circ g)(x)=f\left(\sqrt{x}\right)={\left(\sqrt{x}\right)}^2-4=x-4,$$ et le domaine est celui de $g$, à savoir $D_{f\circ g}=\left[0;+\infty \right[$.

Le point délicat est ici : l'expression finale $x-4$ serait définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, mais la composée, elle, ne l'est pas. Le domaine se lit sur la construction, pas sur l'écriture simplifiée.

L'équation $x-4=0$ donne $x=4$, qui appartient au domaine : $S=\{4\}$. Contrôle : $g(4)=2$ puis $f(2)=0$.