Deux formes $\infty -\infty$

Dans les deux cas, chaque morceau tend vers $+\infty$ : la forme est $\infty -\infty$, qui est indéterminée. « Indéterminée » ne veut pas dire qu'il n'y a pas de limite, mais que la forme ne suffit pas à conclure. La transformation qui lève l'indétermination est ici la même : réduire au même dénominateur, ce qui fait apparaître une seule fraction rationnelle.

Première limite. Pour $x>-1$, $$\frac{2x^2+1}{x+1}-2x=\frac{2x^2+1-2x(x+1)}{x+1}=\frac{2x^2+1-2x^2-2x}{x+1}=\frac{1-2x}{x+1}.$$ Les termes en $x^2$ se sont annulés : c'est exactement ce qui rendait la forme indéterminée. Il reste une fraction rationnelle, dont la limite en $+\infty$ est celle du quotient des monômes dominants : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-2x}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x}{x}=-2.$$

Le résultat mérite un regard. Chacun des deux termes part vers $+\infty$, et leur différence tend vers un nombre négatif : la forme de départ n'annonçait rien du tout.

Seconde limite. Pour $x>-3$, $$x-\frac{x^2}{x+3}=\frac{x(x+3)-x^2}{x+3}=\frac{x^2+3x-x^2}{x+3}=\frac{3x}{x+3}.$$ D'où $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x}{x}=3.$$

Contrôle numérique. En $x=1000$ : $1000-\frac{10^6}{1003}\approx 1000-997,01=2,99$. La valeur approche bien $3$.