Deux formes zéro sur zéro

Dans les deux cas, remplacer $x$ par la valeur donne $\frac{0}{0}$ : c'est une forme indéterminée, et la méthode est toujours la même. Si $a$ annule le numérateur et le dénominateur, alors $(x-a)$ est facteur des deux ; on factorise, on simplifie, puis on remplace.

Première limite. En $x=3$ : $27-27=0$ et $9-9=0$. Le facteur $(x-3)$ est donc commun. Pour le numérateur, on connaît l'identité $$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9),$$ que l'on vérifie en développant : $x^3+3x^2+9x-3x^2-9x-27=x^3-27$. Pour le dénominateur, $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Donc, pour $x\ne 3$, $$\frac{x^3-27}{x^2-9}=\frac{x^2+3x+9}{x+3}.$$ Cette simplification est légitime parce que $x\ne 3$ : dans une limite en $3$, on ne prend jamais la valeur $3$ elle-même. Il n'y a plus d'indétermination : $$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2+3x+9}{x+3}=\frac{9+9+9}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.$$

Seconde limite. En $x=-2$ : $4-2-2=0$ et $4-4=0$. Le facteur $(x+2)$ est commun. Le numérateur $x^2+x-2$ a pour discriminant $1+8=9$, donc pour racines $\frac{-1-3}{2}=-2$ et $\frac{-1+3}{2}=1$ : $$x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$ Le dénominateur vaut $(x-2)(x+2)$. Donc, pour $x\ne -2$, $$\frac{x^2+x-2}{x^2-4}=\frac{x-1}{x-2},$$ et en remplaçant : $$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x-1}{x-2}=\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}.$$