Deux formes zéro sur zéro

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 4 — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité · Quotients, asymptotes et lecture graphique

Énoncé

Calculer $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 2}$ et $lim_{x \to - 1} \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 3 x + 2}$ .

Corrigé

Première limite. En $2$ , numérateur et dénominateur s'annulent : forme $\frac{0}{0}$ . Comme $2$ est racine de $x^{2} - 5 x + 6$ , ce trinôme se factorise par $(x - 2)$ :

$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3), donc \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 2} = x - 3 (x \neq = 2) .$

La limite en $2$ vaut donc $2 - 3 = - 1$ .

Seconde limite. Même forme en $- 1$ . On factorise les deux membres : $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ et $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ . Donc, pour $x \neq = - 1$ ,

$\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 3 x + 2} = \frac{x - 1}{x + 2},$

dont la limite en $- 1$ vaut $\frac{- 2}{1} = - 2$ .

Le réflexe. Une forme $\frac{0}{0}$ en $x = a$ signale que $(x - a)$ divise les deux membres. On l'y cherche, on simplifie, et l'indétermination disparaît.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.