Deux paramètres pour un barème continu

Sur chacune des trois tranches, $C$ est affine ou constante, donc continue. Seules les deux jonctions, en $500$ et en $2000$, peuvent poser problème : chacune va fournir une équation.

En $q=500$. La valeur et la limite à gauche valent $0,08\times 500=40$. La limite à droite vaut $500a+b$. La continuité impose $$500a+b=40.(1)$$

En $q=2000$. La valeur et la limite à gauche valent $2000a+b$ ; la limite à droite vaut $130$. La continuité impose $$2000a+b=130.(2)$$

Résolution. En soustrayant $(1)$ à $(2)$, le terme $b$ disparaît : $$1500a=90⟹a=0,06,$$ puis $(1)$ donne $b=40-500\times 0,06=40-30=10$.

Contrôle. Avec $a=0,06$ et $b=10$ : en $500$, $30+10=40$ ; en $2000$, $120+10=130$. Les deux raccords se font sans saut.

La valeur demandée. $1000$ appartient à la tranche du milieu, donc $$C(1000)=0,06\times 1000+10=70\text{ euros}.$$

Le point à retenir. Chaque point de raccord donne une équation ; deux inconnues demandent donc deux raccords. C'est ainsi qu'on construit un barème sans effet de seuil : la continuité n'est pas ici une propriété qu'on constate, mais une contrainte qu'on impose.