Fractions rationnelles en l'infini

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 4 — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité · Quotients, asymptotes et lecture graphique

Énoncé

Calculer $lim_{x \to + \infty} \frac{4 x ^{3} - x + 2}{2 x ^{3} + 5}$ , $lim_{x \to + \infty} \frac{x + 7}{x ^{2} - 1}$ et $lim_{x \to - \infty} \frac{x ^{2} + 1}{3 - x}$ .

Corrigé

1. Quotient des monômes dominants : $\frac{4 x ^{3}}{2 x ^{3}} = 2$ . La limite vaut $2$ .

2. $\frac{x}{x ^{2}} = \frac{1}{x} \to 0$ . La limite vaut $0$ .

3. $\frac{x ^{2}}{- x} = - x$ . Quand $x \to - \infty$ , $- x \to + \infty$ : la limite vaut $+ \infty$ .

Contrôle numérique du point 3. Pour $x = - 1000$ , le quotient vaut $\frac{1 000 001}{1 003} \approx 997$ : grand et positif, conforme.

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