Lever une indétermination

Première limite. En remplaçant $x$ par $4$, on obtient $\frac{0}{0}$ : c'est une forme indéterminée, la forme ne suffit donc pas à conclure. La méthode est de factoriser pour faire apparaître le facteur commun $(x-4)$ : $$x^2-16=(x-4)(x+4),$$ identité remarquable $a^2-b^2$ avec $a=x$ et $b=4$. Donc, pour $x\ne 4$, $$\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4.$$ La simplification est légitime parce que $x\ne 4$ : dans une limite en $4$, on ne prend jamais la valeur $4$ elle-même. Il ne reste alors plus d'indétermination : $$\underset{x\to 4}{\lim }(x+4)=8.$$

Seconde limite. Il n'y a rien à factoriser : en l'infini, une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses monômes dominants, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x+5}{x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x}{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x}=0.$$ Le degré du dénominateur, $2$, l'emporte sur celui du numérateur, $1$ : le quotient s'écrase vers $0$.