Lever une indétermination

Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité · Limites et indéterminations · niveau 2

Énoncé

Calculer $lim_{x \to + \infty} (3 x^{2} - 7 x)$ et $lim_{x \to + \infty} (\frac{x ^{2} + 1}{x} - x)$ .

Première limite. La forme est $\infty - \infty$ . On met le terme dominant en facteur :

$3 x^{2} - 7 x = x^{2} (3 - \frac{7}{x}) .$

Le premier facteur tend vers $+ \infty$ , le second vers $3 > 0$ : la limite est $+ \infty$ .

Seconde limite. Même forme, mais on réduit au même dénominateur :

$\frac{x ^{2} + 1}{x} - x = \frac{x ^{2} + 1 - x ^{2}}{x} = \frac{1}{x},$

dont la limite en $+ \infty$ est $0$ .

La leçon. Deux formes $\infty - \infty$ , deux réponses opposées : la forme ne décide jamais. C'est l'expression transformée qui décide.