Où le barème saute

1. Sur chaque tranche, $f$ est constante ; les limites se lisent donc sur la valeur de la tranche d'où l'on arrive.

En $30$ : à gauche on est dans la tranche $q<30$, donc ${\lim }_{q\to 30^{-}}f(q)=6$ ; à droite on est dans la tranche $30\le q<80$, donc ${\lim }_{q\to 30^{+}}f(q)=3$, et $f(30)=3$.

En $80$ : ${\lim }_{q\to 80^{-}}f(q)=3$, ${\lim }_{q\to 80^{+}}f(q)=0$, et $f(80)=0$.

2. La continuité en un point demande que la limite existe et vaille la valeur de la fonction. En $30$, les limites à gauche et à droite diffèrent ($6\ne 3$) : $f$ n'a pas de limite en $30$, elle y est discontinue. Même conclusion en $80$ ($3\ne 0$). Partout ailleurs, $f$ est constante au voisinage du point considéré, donc continue. Les seuls points de discontinuité sont donc $30$ et $80$.

3. Avec une commande de $79$ euros, le client paie $79+f(79)=79+3=82$ euros. En ajoutant un article à $1$ euro, il paie $80+f(80)=80+0=80$ euros. Il a donc intérêt à ajouter l'article : dépenser $1$ euro de plus lui fait payer $2$ euros de moins.

Le point à retenir. Un barème par tranches est continu à l'intérieur de chaque tranche : seules les jonctions demandent un examen. Et le saut n'est pas une curiosité mathématique — c'est exactement lui qui rend rationnel le fait d'acheter plus pour payer moins.